Question

8．某學(xué)校社團招聘工作人員，設(shè)置A、B兩組測試項目供應(yīng)聘人員選擇，甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘，其中甲、乙、丙三人各自獨立參加A組測試，已知甲、乙兩人各自通過測試的概率均為$\frac{1}{2}$，丙通過測試的概率為$\frac{3}{5}$．丁參加B組測試，已知B組共有6道試題，丁會做其中的4道題．丁只能且必須選擇4道題作答，答對3道題則競聘成功．
（Ⅰ）求丁應(yīng)聘成功的概率；
（Ⅱ）記測試通過的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)事件C為丁應(yīng)聘成功，則由排列組合知識結(jié)合等可能事件概率計算公式能求出丁應(yīng)聘成功的概率．
（II）由題意ξ所有可能的值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答 （16）（本小題滿分13分）
（I）設(shè)事件C為丁應(yīng)聘成功，則P（C）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{4}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$．…（4分）
（II）由題意ξ所有可能的值為0，1，2，3，4．…（5分）
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{2}$）²×（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{1}{25}$，
P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{0}（\frac{2}{5}）^{2}{C}_{2}^{1}\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{0}（\frac{2}{5}）^{2}$+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{37}{100}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=4）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{9}{100}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{37}{100}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{9}{100}$

…（11分）
所以所求數(shù)學(xué)期望為Eξ=$0×\frac{1}{25}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{37}{100}$+3×$\frac{3}{10}$+$4×\frac{9}{100}$=$\frac{11}{5}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．