Question

已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

5

5

，離心率e=

5

．
（Ⅰ）求該雙曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

5

，0)，B是圓x2+(y-

5

)2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線(xiàn)的方程，根據(jù)準(zhǔn)線(xiàn)方程和離心率求得a和c，進(jìn)而求得b．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

5

，0)，則點(diǎn)A、D為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，|MA|-|MD|=2a，進(jìn)而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B是圓x2+(y-

5

)2=1上的點(diǎn)，推斷出|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1，進(jìn)而通過(guò)直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立求得M的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，
故可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
設(shè)c=

a2+b2

，
由準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

5

5

得

a2

c

=

5

5

，由e=

5

得

c

a

=

5

解得a=1，c=

5

從而b=2，∴該雙曲線(xiàn)的方程為x2-

y2

4

=1；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

5

，0)，
則點(diǎn)A、D為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵B是圓x2+(y-

5

)2=1上的點(diǎn)，
其圓心為C(0，

5

)，半徑為1，
故|BD|≥|CD|-1=

10

-1
從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1
當(dāng)M，B在線(xiàn)段CD上時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)|MA|+|MB|的最小值為

10

+1
∵直線(xiàn)CD的方程為y=-x+

5

，
因點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)右支上，故x＞0
由方程組

4x2-y2=4 y=-x+ 5

解得x=

- 5 +4 2

3

，y=

4 5 -4 2

3

所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

- 5 +4 2

3

，

4 5 -4 2

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)系．圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題是高考中必考的知識(shí)點(diǎn)，故應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．