Question

今年暑假期間有一個(gè)自駕游車(chē)隊(duì)，組織車(chē)友前往青海游玩．該車(chē)隊(duì)是由31輛車(chē)身長(zhǎng)都約為5m（以5m計(jì)算）的同一車(chē)型組成的，行程中經(jīng)過(guò)一個(gè)長(zhǎng)為2725m的隧道（通過(guò)該隧道的速度不能超過(guò)20m/s），勻速通過(guò)該隧道，設(shè)車(chē)隊(duì)速度為xm/s，根據(jù)安全和車(chē)流的需要，當(dāng)0＜x≤12時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持20m的距離，當(dāng)12＜x≤20時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距離．自第1輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第31輛車(chē)車(chē)尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間為
y（s）．
（Ⅰ）將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）求該車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車(chē)隊(duì)的速度．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用當(dāng)0＜x≤12時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距離，可得分段函數(shù)；
（Ⅱ）分段求出函數(shù)的最小值，即可得到分段函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤12時(shí)，y=

2725+5×31+20×(31-1)

x

=

3480

x

；      …2分
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，y=

2725+5×31+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(31-1)

x

=

5x2+10x+2880

x

=5x+

2880

x

+10；…4分
∴所求函數(shù)解析式為y=

3480 x ，&(0＜x≤12) 5x+ 2880 x +10，&(12＜x≤20)

．               …6分
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤12時(shí)，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以在x=12m/s時(shí)，ymin=

3490

12

=290（s）；…8分
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，y=5x+

2880

x

+10≥2

5x• 2880 x

+10=250（s），
其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)5x=

2880

x

即x=24時(shí)成立．
但24∉（12，20]，且當(dāng)12＜x≤20時(shí)，y′=5-

2880

x2

=

5x2-2880

x2

＜0，
所以函數(shù)在（12，20]上也單調(diào)遞減，從而，當(dāng)x=20時(shí)，y_min=254（s）   …12分
因290＞254，所以y_min=254（s）．
答：當(dāng)車(chē)隊(duì)速度為20m/s時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間最小，最小時(shí)間為254s．       …13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．