Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=3，an+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n（a_n+1-2），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件求得

an+1-1 an+1-2

an-1 an-2

為定值，即可證明數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式 的求法即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由前面求得的an的通項(xiàng)公式求出bn的通項(xiàng)公式，然后求出前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，即可證明S_n＜2．

解答：證明：（Ⅰ）∵

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，又

a1-1

a1-2

=2≠0，
∴{

an-1

an-2

}等比數(shù)列，且公比為2，
∴

an-1

an-2

=2n，
解得an=

2n+1-1

2n-1

；
（Ⅱ）bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

Sn=b1+b2+b3++bn＜1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，屬于中檔題．