Question

2．已知函數(shù)f（x）=2alnx-x²．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，判定函數(shù)f（x）在定義域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函數(shù)f（x）最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率、切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）最大值或最小值．

解答 解：（1）若a=2，f（x）=4lnx-x²．
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$-2x，
∴f′（1）=2，
∵f（1）=-1，
∴函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-a）}{x}$，x＞0．
由f′（x）＞0，可得0$＜x＜\sqrt{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，f′（x）＜0，可得x$＞\sqrt{a}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最大值為f（$\sqrt{a}$）=alna-a，無最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．