Question

已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若S₈=68，a₇=16．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₃，b₂=a₁，b₃=a₂，設(shè)T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，r_n=T_n-

1

Tn

（n∈N^*），求數(shù)列{r_n}的最大項與最小項的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式聯(lián)立方程組解得a₁與d；
（2）由等比數(shù)列的前n項和公式求得T_n，通過討論n的奇偶性判定T_n的增減性即可．

解答： 解：（1）由S₈=68，a₇=16得

8a1+ 8×7 2 d=68 a1+6d=16

  解得a₁=-2，d=3
∴a_n=-2+3（n-1）即a_n=3n-5．
（2）∵b₁=a₃=4，b₂=a₁=-2，b₃=a₂=1
∴q=-

1

2

，b₁=4
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

4[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

8[1-(- 1 2 )n]

3

∵當n為奇數(shù)時，1-(-

1

2

)n=1+

1

2n

為減函數(shù)，此時1-(-

1

2

)n＞1；
當n為偶數(shù)時，1-(-

1

2

)n=1-

1

2n

為增函數(shù)，此時0＜1-(-

1

2

)n＜1；
∴當n=1時，T_n有最大值，當n=2時，T_n有最小值，
又T_n與-

1

Tn

具有相同的單調(diào)性，
∴當n=1時，（r_n）_max=T1-

1

T1

=4-

1

4

=

15

4

；
當n=2時，（r_n）_min=T2-

1

T2

=2-

1

2

=

3

2

．

點評：考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義及公式的運用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，注意n的奇偶的討論．