Question

在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=x³-3x+1的零點所在的區(qū)間是

1. A.
   （1，2）
2. B.
   （2，3）
3. C.
   （3，4）
4. D.
   （4，5）

Answer 1

A
分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，再分別求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，并結合零點存在性定理，不難得到本題的答案．
解答：∵f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0
可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數(shù)；在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)
函數(shù)的極大值f（-1）=-1+3+1=3＞0，極小值f（1）=1-3+1=-1＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）、（-1，1）、（1，+∞）上各有一個零點
∵f（1）=-1＜0，f（2）=8-6+1=3＞0，f（3）＞0、f（4）＞0且f（5）＞0
∴函數(shù)在（1，2）上有一個零點，而在（2，3）、（3，4）、（4，5）上均沒有零點
故選：A
點評：本題給出三次多項式函數(shù)，求它的一個含有零點的區(qū)間，著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點的定義及其存在性討論等知識，屬于基礎題．