如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，
圓：．已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂
直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截
得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為．是否為定值？
請(qǐng)說(shuō)明理由．
,
解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為，   ………………………………… 1分
∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，          …………………………………2分
設(shè)在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，      ………………………………………3分
∴，∴，           ……………………………………………… 4分
∴，      ……………………………………………… 5分
又∵點(diǎn)在雙曲線上，
由雙曲線定義得，，∴，  ………………………………………… 6分
∴雙曲線的方程為：．         …………………………………………… 7分
（Ⅱ）為定值.下面給出說(shuō)明.            …………………………………………… 8分
設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：，
∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為，………9分
故圓：，                           ………………………… 10分
設(shè)的方程為，即，
設(shè)的方程為，即，
∴點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，……………… 11分
∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，………………12分
直線被圓截得的弦長(zhǎng)，…………………13分
∴，故為定值． …………………… 14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)如圖，曲線G的方程為y2=20（y≥0）.以原點(diǎn)為圓心，以t（t >0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.

（Ⅰ）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；
（Ⅱ）設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a＋2，求證：直線CD的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（滿分12分）直線l 與拋物線y2 = 4x 交于兩點(diǎn)A、B，O 為原點(diǎn)，且= －4．
(I)       求證：直線l 恒過(guò)一定點(diǎn)；
(II)     若 4≤| AB | ≤，求直線l 的斜率k 的取值范圍；
(Ⅲ) 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，∠AFB = θ，試問(wèn)θ 角能否等于120°？若能，求出相應(yīng)的直線l 的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題13分）已知定點(diǎn)及橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與該橢圓相交于兩點(diǎn).
（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，橢圓上兩點(diǎn)在軸上的射影分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線的斜率為，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與軸交于點(diǎn)，的外接圓為圓．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）
為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形，以過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)km區(qū)域。
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

方程所表示的曲線的對(duì)稱性是  （   ）
A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱
C．關(guān)于直線對(duì)稱D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓 的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則雙曲線C的離心率為           。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知AB是橢圓的長(zhǎng)軸，若把該長(zhǎng)軸2010等分，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作AB的垂線，依次交橢圓的上半部分于點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則=               

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