已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
6
,0),(
π
3
,1)

(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)若x∈[0,
π
2
],是否存在實數(shù)m使函數(shù)g(x)=
3
f(x)+m2
的最大值為4?若存在,求出實數(shù)m的值,若不存在,說明理由.
分析:(I)由已知中函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
6
,0),(
π
3
,1)
.代入構(gòu)造a,b的方程,得到實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)由(I)中結(jié)論結(jié)合和差角公式,將函數(shù)f(x)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)由x∈[0,
π
2
]可得x-
π
6
∈[-
π
6
π
3
]進(jìn)面可求出g(x)=2
3
sin(x-
π
6
)+m2
的最大值的表達(dá)式,進(jìn)而求出滿足條件的m的值.
解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
6
,0),(
π
3
,1)

1
2
a+
3
2
b=0
3
2
a+
1
2
b=1
,(4分)         
解得:a=
3
,b=-1  (5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=
3
sinx-cosx=2sin(x-
π
6
)(7分)
2kπ+
π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈Z

所以f(x)遞減區(qū)間為[2kπ+
3
,2kπ+
3
],(k∈Z)
(9分)
(Ⅲ)∵x∈[0,
π
2
],
∴x-
π
6
∈[-
π
6
,
π
3
],(10分)
g(x)=2
3
sin(x-
π
6
)+m2

∴當(dāng)x-
π
6
=
π
3
,即x=
π
2
時,
-
1
2
≤sin(x-
π
6
)≤
3
2
,(12分)
g(x)max=3+m2
∴3+m2=4,
∴m=±1所以存在實數(shù)m=±1使g(x)的最大值為4(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性,其中求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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