Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-bx²，a＞0，b＞1．求證：|f（x）|≤1對任意x∈[0，1]恒成立的充要條件是b-1≤a≤2$\sqrt$．

Answer 1

分析 必要性：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．取x=1，可得a≥b-1．對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，由b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt}$＜1，利用$f（\frac{1}{\sqrt}）$≤1，可得a≤2$\sqrt$，即可證明．
充分性：由b＞1，a≥b-1，對任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1．由b＞1，a≤2$\sqrt$對任意x∈[0，1]，可以推出：2$\sqrt$x-bx²≤-b$（x-\frac{1}{\sqrt}）^{2}$+1≤1，即可證明-1≤f（x）≤1．

解答 證明：必要性：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．
據(jù)此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，
因為b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt}$＜1，可推出$f（\frac{1}{\sqrt}）$≤1，即a•$\frac{1}{\sqrt}$-1≤1，
∴a≤2$\sqrt$，
∴b-1≤a≤2$\sqrt$．
充分性：因為b＞1，a≥b-1，對任意x∈[0，1]，
可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，
因為b＞1，a≤2$\sqrt$對任意x∈[0，1]，
可以推出：2$\sqrt$x-bx²≤-b$（x-\frac{1}{\sqrt}）^{2}$+1≤1，即ax-bx²≤1，
∴-1≤f（x）≤1．
綜上，當(dāng)b＞1時，對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2$\sqrt$．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的解法及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．