Question

【題目】已知點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交的中垂線(xiàn)于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線(xiàn)的方程為或

【解析】

（Ⅰ）由已知可判斷：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，結(jié)合已知即可求得曲線(xiàn)的方程

（Ⅱ）設(shè)，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得：，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得：，利用點(diǎn)在圓上及列方程組可得：，解得：，，問(wèn)題得解。

解：（Ⅰ）由已知可得，，

即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離，

故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

∴曲線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，，

由，得，

∴，

∴，，即，

∵直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，

∴，且，

從而，，

即：，

整理可得，即，

∴，

故直線(xiàn)的方程為或.