Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），g（x）=$\frac{19}{6}$x-$\frac{1}{3}$．是否處在實(shí)數(shù)a，存在x₁∈[-1，1]，x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分別求出值域，再建立不等式，即可得到結(jié)論

解答 由題意，函數(shù)f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集
∵x∈[0，2]，g（x）=$\frac{19}{6}$x-$\frac{1}{3}$，∴g（x）∈[-，6]；
令F（x）=f′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
∵x∈[-1，1]，
∴F（x）∈[-$\frac{1}{3}$-a²-2a，5-a²-2a]
∴-$\frac{1}{3}$-a²-2a≥-$\frac{1}{3}$且5-a²-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2，0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題．