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函數f(x)=x3+ax2+bx+c，過曲線y=f(x)上的點P（1，f(1)）的切線方程為y=3x+1；
（1）若y=f(x)在x=-2時有極值，求f(x)的表達式；
（2）在（1）的條件下，求y=f(x)在[-3，1]上的最大值；
（3）若函數y=f(x)在區(qū)間[-2，1]上單調遞增，求b的取值范圍。
解：（1）由，
求導數，得，
過y=f(x)上點 P（1，f(1)）的切線方程為，
即，
而過y=f(x)上點P（1，f(1)）的切線方程為y=3x+1，
故，即，
∵y=f(x)在x=-2時有極值，
故=0，∴-4a+b=-12， ③
由①②③式，聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5，
∴。
（2），
見下表：

∴，
，
∴f(x)在[-3，1]上最大值為13。
（3）y=f(x)在區(qū)間 [-2，1]上單調遞增，
又，由（1）知2a+b=0，
∴ 依題意在[-2，1]上恒有，即在[-2，1]上恒成立，
①當時，，∴b≥6；
②當時，，∴；
③當時，，∴0≤b≤6；
綜合上述討論可知，所求參數b取值范圍是：b≥0。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（1）判斷函數f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
（3）設
1
5
是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2，x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發(fā)現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現為條件，函數f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，則它的對稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=-x3+
1
2
ax2+b．
（1）若y=f（x）在x=1處的極值為
5
2
，求y=f（x）的解析式并確定其單調區(qū)間；
（2）當x∈（0，1]時，若y=f（x）的圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，求當0≤θ≤
π
4
時a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）命題p：方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一負根；
命題q：函數f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6在R上有極值；
若命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

判斷函數f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以證明．

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