Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和.

（2）

【解析】

（1）將代入解析式，求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（2）由題意可知，其中，分類討論或：當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理即可判斷有解；當(dāng)時，由，得，分類討論當(dāng)或，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，根據(jù)最大值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

解：（1）由題意可得

則，

令，得，

當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，

單調(diào)減區(qū)間是和.

（2）由題意可知，其中，

①當(dāng)時，由于，得，故在上為增函數(shù)，

且，所以方程在有解；

②當(dāng)時，由，得，（舍）.

（i）當(dāng)，即時，

因為，所以，即，

故，所以在上為減函數(shù)，

所以，

所以此時方程在區(qū)間沒有解；

（ii）當(dāng)，即時，在上為增函數(shù)，

在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時，

方程在區(qū)間才有解，

而，

由，解得時，或（不合題意，舍去），

所以，當(dāng)時，方程在區(qū)間有解；

綜上，當(dāng)時，方程在區(qū)間有解.