Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）的最小值和最大值分別為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1和0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬中檔題．