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2.已知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=1,公差d=3的等差數(shù)列,bn=l-3log2 (2an)(n∈N*).
(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)由題意得3n-2=1-3log2(2an),從而an=12n,由此能證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)由=3n212n,n∈N*,由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

解答 解:(1)∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=1,公差d=3的等差數(shù)列,
∴由題意bn=1+3(n-1)=3n-2,…(2分)
則由bn=l-3log2 (2an)(n∈N*),得3n-2=1-3log2(2an),則an=12n,
anan1=12n12n1=12,(n≥2,n∈N*),…(4分)
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為12,公比為12的等比數(shù)列.…(5分)
(2)由(1)知,cn=3n212n,n∈N*,…(6分)
Sn=1×12+4×122+7×123+…+(3n-5)×(12n-1+(3n-2)×(12n,
12Sn=1×(122+4×(123+7124+…+(3n-5)×(12n+(3n-2)×(12n+1,…(8分)
兩式相減得 12Sn=12+3[122+123+124++12n]-(3n-2)×(12)×(12n+1,
化簡(jiǎn),得12Sn=23n+4×12n+1,…(11分)
所以Sn=43n+4×12n,n∈N*.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.

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