Question

9．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，面AA₁B₁B⊥面ABC，且∠A₁AB=60°，AA₁=2，△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，G為△ABC的重心，取BC中點(diǎn)F，連接B₁F與BC₁交于E點(diǎn)：
（1）求證：GE∥面AA₁B₁B；  
（2）求三棱錐B-B₁EA的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AF，由題意知，G在AF上，AG=2GF，由F為BC中點(diǎn)可得三角形相似．再由G為△ABC的重心，得到GE∥AB₁，由線面平行的判定得答案；
（2）由${V}_{B-{B}_{1}EA}$=$\frac{2}{3}{V}_{B-{B}_{1}FA}$=$\frac{2}{3}{V}_{{B}_{1}-BFA}$得答案．

解答 （1）證明：連結(jié)AF，由題意知，G在AF上，AG=2GF，
∵F為BC的中點(diǎn)，∴△B₁EC₁∽△FEB，且BE=$\frac{1}{2}E{C}_{1}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，則點(diǎn)F為BC中點(diǎn)．
∵G為△ABC的重心，∴$\frac{FG}{FA}=\frac{FE}{F{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴GE∥AB₁，
又AB₁?面AA₁B₁B，GE?面AA₁B₁B，
∴GE∥面AA₁B₁B；
（2）解：${V}_{B-{B}_{1}EA}$=$\frac{2}{3}{V}_{B-{B}_{1}FA}$=$\frac{2}{3}{V}_{{B}_{1}-BFA}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×{S}_{△BFA}×h$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．