已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）圓的面積的最大值為，直線方程.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問題.（1）由橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，建立方程組，求出、的值，從而得出橢圓方程；（2）是探索性問題，研究是否存在過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問題，求解分三個(gè)步驟，根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式，將用直線的斜率的倒數(shù)表示，再通過函數(shù)知識求面積的最大值；由此求出直線的方程；將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式，即可得到圓的半徑的最大值，進(jìn)而求出圓的面積的最大值.

試題解析：（1）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，解得，，

故所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，，令，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為，，

因此若最大，則最大，

又，由題設(shè)知直線的斜率不為0，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組消去整理得，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，，

，

即，令，則，由此得，

令，即在上單調(diào)遞增，

，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，），

這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積的最大值為，

故直線的方程為，內(nèi)切圓的面積的最大值為.

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的內(nèi)切圓面積.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點(diǎn)M，與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時(shí)直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30-7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點(diǎn)，求e．

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