Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱錐C﹣A1DE的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）1

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進(jìn)而求得S△A1DE的值，再根據(jù)三棱錐C-A1DE的體積為S△A1DECD，運(yùn)算求得結(jié)果

試題解析：（1）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，

連結(jié)DF，則BC1∥DF． 3分

因?yàn)?/span>DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分

所以BC1∥平面A1CD． 5分

（2）解：因?yàn)?/span>ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分

由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分

所以三菱錐C﹣A1DE的體積為：==1． 12分