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7.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+\frac{π}{6})cos(x-\frac{π}{6}),x∈R
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+\sqrt{3}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2},且g(\frac{α}{2})=\frac{2}{3},0<α<π,求g(\frac{π}{4}+\frac{α}{2})的值.

分析 (1)利用兩角和差的正弦和余弦公式,進(jìn)行化簡(jiǎn),求出f(x)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求出g(x)的解析式,利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解答 解:(1)f(x)=2sin(x+\frac{π}{6})cos(x-\frac{π}{6})=2(\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}sinx)(\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx)
=2sinxcosx+\frac{\sqrt{3}}{2}=sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2},
由2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,得kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4},
即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-\frac{π}{4},kπ+\frac{π}{4}];
(2)∵f(x)=sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2},
∴g(x)=sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin(2x+\frac{π}{3}),
則g(\frac{α}{2})=2sin(α+\frac{π}{3})=\frac{2}{3}
∵0<α<π,∴\frac{π}{3}<α+\frac{π}{3}\frac{4π}{3}
∴0<sin(α+\frac{π}{3})=\frac{1}{3}<\frac{1}{2},
\frac{5π}{6}<α+\frac{π}{3}<π,∴cos(α+\frac{π}{3})=-\frac{2\sqrt{2}}{3},
∴g(\frac{π}{4}+\frac{α}{2})=2sin[(\frac{π}{2}+α)+\frac{π}{3}]=2sin[\frac{π}{2}+(α+\frac{π}{3})]=2cos(α+\frac{π}{3})=-\frac{4\sqrt{2}}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的求解以及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值,利用兩角和差的公式以及倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

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