Question

15．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1
（1）求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥4；
（2）求：a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論；
（2）利用$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，求：a²+b²的最小值．

解答 （1）證明：∵正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥4；
（2）解：∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²+b²≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
∴a²+b²的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查求a²+b²的最小值，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．