Question

（2013•眉山二模）如圖所示，f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，令g（x）=af（x）+b，并有關(guān)于函數(shù)g（x）的四個論斷：
①若a＞0，對于[-1，1]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②函數(shù)g（x）是奇函數(shù)的充要條件是b=0；
③?a∈R，g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）有兩個零點(diǎn)．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數(shù)根；
其中所有正確結(jié)論的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行判斷；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，反之，也成立；
③由g（x）的極值點(diǎn)的個數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)g'（x）有多少個零點(diǎn)；
④此命題可由函數(shù)的圖象及參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．

解答：解：①由圖象知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，故當(dāng)a＞0時，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也為增函數(shù)
故對于[-1，1]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，故命題正確；
②當(dāng)b=0時，則函數(shù)g（x）=af（x）是一個奇函數(shù)，反之，當(dāng)是g（x）是奇函數(shù)時，由于g（x）=af（x）+b，則必有b=0；
③?a∈R，由g（x）的極值點(diǎn)有兩個，判斷導(dǎo)函數(shù)g'（x）有2個零點(diǎn)；
④由于本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個根．綜上①②③正確
故答案為①②③．

點(diǎn)評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解本題的關(guān)鍵是對函數(shù)的圖象變換的方式與系數(shù)的關(guān)系以及與所加的常數(shù)的關(guān)系的理解與運(yùn)用．一般一個一個奇函數(shù)乘上一個數(shù)仍是奇函數(shù)，一個增函數(shù)乘上一個正數(shù)仍是增函數(shù)，一個函數(shù)加上一個常數(shù)，不改變其單調(diào)性，由這些結(jié)論即可保證正確做對本題．