Question

已知曲線f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)Q（2，-6）的曲線y=f（x）的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求曲線f（x）=x³-3x在點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)Q的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R，然后根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線斜率建立等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3…（2分）
則f'（1）=3×1²-3=0…（3分）
故曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y+2=0×（x-1），即y=-2…（4分）
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)Q的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R(x0，

x

3 0

-3x0)…（5分）
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線斜率為f′(x0)=3

x

2 0

-3
由斜率公式可得

x 3 0 -3x0-(-6)

x0-2

=3

x

2 0

-3…（7分）
整理可得x₀=0或x₀=3…（9分）
故切點(diǎn)R分別為（0，0）和（3，18）…（10分）
所以過點(diǎn)Q的切線方程有兩條：y=-3x和y=24x-54…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．