Question

已知A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，且向量

a

=（tanA，-sinA），

b

=（

1

2

sin2A，cosB），向量

a

，

b

的夾角為θ．
（1）求證：0＜θ＜

π

2

；
（2）求函數(shù)f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標表示和同角的基本關(guān)系式，結(jié)合銳角三角形的定義和正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到

a

•

b

＞0，又由向量共線的知識，判斷

a

，

b

不共線，進而得證；
（2）運用二倍角的余弦公式和兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)，再由θ的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最大值．

解答： （1）證明：由向量

a

=（tanA，-sinA），

b

=（

1

2

sin2A，cosB），
則

a

•

b

=

1

2

sin2AtanA-sinAcosB=sinAcosAtanA-sinAcosB=sin²A-sinAcosB
=sinA（sinA-cosB），
由于△ABC為銳角三角形，則A+B＞90°，即有A＞90°-B，
sinA＞sin（90°-B），即sinA＞cosB，
則有

a

•

b

＞0，
且tanAcosB≠-

1

2

sinAsin2A，即

a

，

b

不共線，
則向量

a

，

b

的夾角θ的范圍是0＜θ＜

π

2

；
（2）解：函數(shù)f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ=1-cos2（

π

4

+θ）-

3

cos2θ
=1+sin2θ-

3

cos2θ=1+2（

1

2

sin2θ-

3

2

cos2θ）=1+2sin（2θ-

π

3

），
由0＜θ＜

π

2

，可得-

π

3

＜2θ-

π

3

＜

2π

3

，
則當2θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

12

時，sin（2θ-

π

3

）取得最大值1，
f（θ）取得最大值3．

點評：本題考查向量數(shù)量積的坐標表示，主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，運用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．