Question

已知函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）．
（1）當m=2時，判斷f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明．
（2）若對任意x∈R，不等式 f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（3）討論f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當m=2時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明．
（2）利用參數(shù)分離法將不等式 f（2^x）＞0恒成立，進行轉(zhuǎn)化，求m的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當m=2，且x＜0時，f(x)=-x+

2

x

-1是單調(diào)遞減的．
證明：設x₁＜x₂＜0，則f(x1)-f(x2)=-x1+

2

x1

-1-(-x2+

2

x2

-1)=(x2-x1)+(

2

x1

-

2

x2

)=(x2-x1)+

2(x2-x1)

x1x2

=(x2-x1)(1+

2

x1x2

)
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
所以(x2-x1)(1+

2

x1x2

)＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故當m=2時，f(x)=-x+

2

x

-1在（-∞，0）上單調(diào)遞減的．
（2）由f（2^x）＞0得|2x|+

m

2x

-1＞0，
變形為（2^x）²-2^x+m＞0，即m＞2^x-（2^x）²
而2x-(2x)2=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
當2x=

1

2

即x=-1時(2x-(2x)2)max=

1

4

，
所以m＞

1

4

．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0（x≠0），變?yōu)閙=-x|x|+x（x≠0）
令g(x)=x-x|x|=

-x2+x，x＞0 x2+x，x＜0

作y=g（x）的圖象及直線y=m，由圖象可得：
當m＞

1

4

或m＜-

1

4

時，f（x）有1個零點．
當m=

1

4

或m=0或m=-

1

4

時，f（x）有2個零點；
當0＜m＜

1

4

或-

1

4

＜m＜0時，f（x）有3個零點．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題的求解，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法．