Question

19．在如圖所示的直角三角形ABP中，已知直角邊AB=2，BP=4，C、D分別為BP、AP的中點(diǎn)，將三角形DCP沿CD折起，使得面PBC⊥面ABCD，且PB=2，連接PB，PA得到四棱錐P-ABCD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求二面角P-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，氣促PA，BD的向量坐標(biāo)，利用向量法進(jìn)行證明．
（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可求二面角的正切值．

解答 （1）證明：∵PB=PC=BC=2，∴△PBC是正三角形，
取CB的中點(diǎn)M，則PM⊥BC，
∵面PBC⊥面ABCD，∴PM⊥面ABCD，
建立以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MF，MB，MP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=2，BP=4，C、D分別為BP、AP的中點(diǎn)，
∴A（2，1，0），B（0，1，0），D（1，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{PA}$=（2，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BD}$=（2，1，-$\sqrt{3}$）•（1，-2，0）=2-2=0，
則$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{BD}$，即PA⊥BD．
（2）平面BDC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{1}{\sqrt{12+3+1}}=\frac{1}{\sqrt{16}}$=$\frac{1}{4}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
在tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．