Question

14．若a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{π}$-sinx）dx，則（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶的二項展開式中的常數項為15（用數字作答）．

Answer 1

分析 利用定積分的運算求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶展開式中的常數項．

解答 解：∵a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{π}$-sinx）dx=（$\frac{1}{π}$x+cosx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=1，
∴（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶=（x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶二項展開式中的通項公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=0，
解得r=4，
∴該二項展開式中的常數項為T₄₊₁=（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$=15．
故答案為：15．

點評 本題考查了定積分的計算問題，也考查了二項式展開式通項公式的應用問題，是基礎題目．