Question

（2012•江蘇一模）已知函數(shù)f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是

[

2- 2

4

，

1

2

）

．

Answer 1

分析：先作出函數(shù)圖象然后根據(jù)圖象可得要使存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）則必有0≤x₁＜

1

2

且x+

1

2

在[0，

1

2

）的最小值大于等于2^x-1在[

1

2

，2）的最小值從而得出x₁的取值范圍然后再根據(jù)x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1即問題轉(zhuǎn)化為求y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域．

解答：解：作出函數(shù)f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

的圖象：
∵存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜

1

2

∵x+

1

2

在[0，

1

2

）上的最小值為

1

2

；2^x-1在[

1

2

，2）的最小值為

2

2

∴x₁+

1

2

≥

2

2

，x₁≥

2 - 1

2

∴

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

∵f（x₁）=x₁+

1

2

，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1
令y=x12+

1

2

x1（

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

）
∴y=x12+

1

2

x1為開口向上，對稱軸為x=-

1

4

的拋物線
∴y=x12+

1

2

x1在區(qū)間[

2 - 1

2

，

1

2

）上遞增
∴當x=

2 - 1

2

時y=

2- 2

4

當x=

1

2

時y=

1

2

∴y∈[

2- 2

4

，

1

2

）
即x₁f（x₂）的取值范圍為[

2- 2

4

，

1

2

）
故答案為[

2- 2

4

，

1

2

）

點評：本題主要考查了利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象得出x₁的取值范圍進而轉(zhuǎn)化為y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域即為所求同時一元二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷需考察對稱軸與區(qū)間的關(guān)系這要引起重視！