Question

P（2，1）在圓x²+y²-8x-4y+11=0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P做圓的割線l，交圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|最短，求最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線l的方程；
（2）若|AB|=2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)l⊥CP時(shí)，弦AB長(zhǎng)最短．求出直線OP的斜率，從而得到l的斜率，利用點(diǎn)斜式列式結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，即可求出此時(shí)直線l的方程；
（2）由|AB|=2

5

結(jié)合垂徑定理算出圓心到直線l的距離d=2，再分直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，由點(diǎn)斜式方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于直線l斜率k的方程，解之即可得到所求直線l的方程．

解答：解：（1）由圓方程x²+y²-8x-4y+11=0，可得圓心C（4，2），半徑r=3
當(dāng)l⊥CP時(shí)，弦AB長(zhǎng)最短
此時(shí)k_cp=

1-0

2-0

=

1

2

，可得k_l=

-1

kOP

=-2
∴直線l的方程為y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0
∵圓心C到l的距離d=

|8+2-5|

5

=

5

∴|AB|=2

r2-d2

=2

9-5

=4．…（7分）
（2）∵|AB|=2

5

，
∴圓心到直線的距離d=

r2- 1 4 |AB|2

=

9-5

=2
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l為方程為y-1=k（x-2）
可得

|2k-1|

k2+1

=2，解之得k=-

3

4

，可得直線l方程為3x+4y-10=0
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l方程為x=2也符合題意
綜上所述，直線l的方程是x=2或3x+4y-10=0（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線，求直線被圓截得弦長(zhǎng)最短時(shí)直線的方程．著重考查了圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．