Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1交x軸于點H，點M是l上的動點，過點M垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若A、B為軌跡C上的兩個動點，且

OA

•

OB

=-4，證明：直線AB必過一定點，并求出該點．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可得，點P到點F（1，0）的距離等于點P到直線l：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點P的軌跡是拋物線，從而求得方程；
（2）設直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到y(tǒng)²=4x中得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韋達定理，結合向量的數量積的坐標公式，即可得到k，b的關系式，即可證明直線AB恒過定點．

解答： （1）解：連接PF，由于過點M垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點P，
則有|PF|=|PM|，即點P到點F（1，0）的距離等于點P到直線l：x=-1的距離，
由拋物線的定義可得，點P的軌跡C是：以F為焦點，以直線l：x=-1為準線的拋物線，
其方程為：y²=4x；
（2）證明：設直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB代入到y(tǒng)²=4x中得，k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
所以x₁+x₂=

4-2kb

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=（1+k²）•

b2

k2

+kb•

4-2kb

k2

+b²=-4，
解得，b=-2k，
則有直線AB：y=kx-2k，即有y=k（x-2）．
故直線AB必過一定點，且為（2，0）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查轉化思想與計算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關鍵．