Question

已知函數(shù)，滿足，且，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）已知，求在處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，為坐標(biāo)原點，若對于在時的圖象上的任一點，在曲線上總存在一點，使得，且的中點在軸上，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)，求斜率，確定切線方程；

（2）由已知確定；

根據(jù)得：．

，只需．

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)，，的最大值即得解；

（3）設(shè)為在時的圖象上的任意一點，可得，，．

由于，得到．

， 的情況，求得的取值范圍.

方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.

試題解析：（1），

，

在處的切線方程為：，即 4分

（2），

，從而 5分

由得：．

由于時，，且等號不能同時成立，所以，．

從而，為滿足題意，必須． 6分

設(shè)，，則．

，，

從而，在上為增函數(shù)，

所以，從而． 9分

（3）設(shè)為在時的圖象上的任意一點，則

的中點在軸上，的坐標(biāo)為，

，，所以，，．

由于，所以． 11分

當(dāng)時，恒成立，； 12分

當(dāng)時，，

令，則

，，，從而在上為增函數(shù)，由于時，，，

綜上可知，的取值范圍是． 14分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題.