若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(n,Sn),均在函數(shù)y=2x+r(r為常數(shù))的圖象上.(Ⅰ)求an和r的值;
(Ⅱ)記  bn=
n
an+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
考點:數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)由點(n,Sn),均在函數(shù)y=2x+r(r為常數(shù))的圖象上.可得Sn=2n+r,當(dāng)n=1時,a1=2+r,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1,由于數(shù)列{an}是等比數(shù)列,可得
a
2
2
=a1a3
,解得r.
(II)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
解答: 解:(I)∵點(n,Sn),均在函數(shù)y=2x+r(r為常數(shù))的圖象上.
Sn=2n+r,
當(dāng)n=1時,a1=2+r,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+r-(2n-1+r)=2n-1,
∴a2=2,a3=4,
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴
a
2
2
=a1a3

∴22=(2+r)×4,
解得r=-1,
∴a1=1,
an=2n-1,r=-1.
(II)bn=
n
an+1
=
n
2n
,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
,
1
2
Tn
=
1
22
+
2
23
+…+
n-1
2n
+
n
2n+1

1
2
Tn
=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
2+n
2n+1
,
∴Tn=2-
2+n
2n
點評:本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推式的應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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2
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1
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+
1
2
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PM
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A、
1
12
B、
7
60
C、
3
20
D、
1
5

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