對于函數(shù),其中a為實常數(shù),已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(3x)=m有三個不等實根,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),令x=1求出f′(1)的值,再將(1,-2)代入f(x)求出m的值;求出g′(x)令其x=1求出g′(1)=0求出a值;求出g′(x)=0的根,判斷出根左右兩邊的符號,求出極小值.
(2)先得出.再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及極值,從而得出函數(shù)y=f(x)的大致圖象,令3x=t(t>0),若關(guān)于x的方程f(3x)=m有三個不等實根,則關(guān)于t的方程f(t)=m在(0,+∞)上有三個不等實根,即函數(shù)y=f(t)的圖象與直線y=m在(0,+∞)上有三個不同的交點.最后由圖象可知m的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=-x3+2x2+2ax-2.                   (1分)
據(jù)題意,當(dāng)x=-1時f(x)取極值,所以f′(-1)=0.              (2分)
因為f′(-1)=-(-1)3+2×(-1)2+2a×(-1)-2=1-2a.
由1-2a=0,得.  (4分)
(2)因為,則
所以f′(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2).
由f′(x)>0,得(x-1)(x+1)(x-2)<0,即x<-1或1<x<2.
所以f(x)在區(qū)間(-∞,-1),(1,2)上單調(diào)遞增,
在區(qū)間(-1,1),(2,+∞)上單調(diào)遞減.(6分)
所以f(x)的極大值為,
極小值為.      (7分)
由此可得函數(shù)y=f(x)的大致圖象如下:(8分)
令3x=t(t>0),若關(guān)于x的方程f(3x)=m有三個不等實根,
則關(guān)于t的方程f(t)=m在(0,+∞)上有三個不等實根,
即函數(shù)y=f(t)的圖象與直線y=m在(0,+∞)上有三個不同的交點.
,由圖象可知,
故m的取值范圍是.                        (9分)
點評:本題考查曲線的切線問題時,常利用的是切線的導(dǎo)數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率;解決函數(shù)的極值問題唯一的方法是利用導(dǎo)數(shù).
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對于函數(shù)f(x)=-
1
4
x4+
2
3
x3+ax2-2x-2
,其中a為實常數(shù),已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直.
(1)求實數(shù)a的值;
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對于函數(shù)f(x)=-x4x3+ax2-2x-2,其中a為實常數(shù),已知函數(shù)

yf(x)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直.

(Ⅰ)求實數(shù)a的值;

(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(3x)=m有三個不等實根,求實數(shù)m的取值范圍;

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對于函數(shù),其中a為實常數(shù),已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直。

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)若關(guān)于的方程有三個不等實根,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若函數(shù)無零點,求實數(shù)的取值范圍。

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對于函數(shù),其中a為實常數(shù),已知函數(shù)yfx)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直.

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)若關(guān)于的方程有三個不等實根,求實數(shù)的取值范圍;

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