Question

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=

3

2

；sin25°+sin265°+sin2125°=

3

2

sin220°+sin280°+sin2140°=

3

2

通過(guò)觀察上述三個(gè)等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題：

 

=

3

2

（*），并給出（*）式的證明．

Answer 1

分析：分析已知條件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個(gè)均為正弦的平方，且三個(gè)角組成一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答：解：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
證明    左邊=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°）]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（9分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（11分）
=

3

2

=右邊
∴原式得證                                    …（12分）
（將一般形式寫(xiě)成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，
sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正確，其證明過(guò)程可參照給分．）
故答案為：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．