如圖,在直四棱柱(側(cè)棱與底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,給出以下結(jié)論:
(1)異面直線A1B1與CD1所成的角為45°;
(2)D1C⊥AC1;
(3)在棱DC上存在一點E,使D1E∥平面A1BD,這個點為DC的中點;
(4)在棱AA1上不存在點F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的
1
5

其中正確的個數(shù)有(  )
分析:直接利用已知條件推出異面直線所成的角判斷(1)的正誤;通過直線與平面的位置關系判斷(2)的正誤;通過直線與平面的平行判斷(3)的正誤;幾何體的體積判斷(4)的正誤即可.
解答:解:(1)由題意可知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,所以△DD1C1是等腰直角三角形,A1B1∥C1D1,異面直線A1B1與CD1所成的角為45°,所以(1)正確.
(2)由題意可知,AD⊥平面DD1C1C,四邊形DD1C1C是正方形,所以D1C⊥DC1,
可得D1C⊥AC1;(2)正確;
對于(3)在棱DC上存在一點E,使D1E∥平面A1BD,這個點為DC的中點,因為
DC=DD1=2AD=2AB,如圖HG
.
1
2
D1E
,所以E為中點,正確.
(4)設AB=1,則棱柱的體積為:
1+2
2
×1×1
=
3
2
,當F在A1時,A1-BCD的體積為:
1
3
×
1
2
×1×2×1
=
1
3
,顯然體積比為
2
9
1
5
,所以在棱AA1上存在點F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的
1
5
,所以(4)不正確.
正確結(jié)果有(1)、(2)、(3).
故選C.
點評:本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,幾何體的體積的求法,直線與平面的位置關系的判斷,考查空間想象能力計算能力.
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(1)B1D1與A1D能否垂直?請證明你的判斷;
(2)當∠A1B1C1[
π
3
,
π
2
]
上變化時,求異面直線AC1與A1B1所成角的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:單選題

如圖,在直四棱柱(側(cè)棱與底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,給出以下結(jié)論:
(1)異面直線A1B1與CD1所成的角為45°;
(2)D1C⊥AC1;
(3)在棱DC上存在一點E,使D1E∥平面A1BD,這個點為DC的中點;
(4)在棱AA1上不存在點F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的數(shù)學公式
其中正確的個數(shù)有


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省六校聯(lián)盟高三(下)回頭考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

如圖,在直四棱柱(側(cè)棱與底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,給出以下結(jié)論:
(1)異面直線A1B1與CD1所成的角為45°;
(2)D1C⊥AC1
(3)在棱DC上存在一點E,使D1E∥平面A1BD,這個點為DC的中點;
(4)在棱AA1上不存在點F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的
其中正確的個數(shù)有( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直四棱柱(側(cè)棱與底面垂直)中,四邊形ABCD是邊長為1的菱形,E為的中點,F(xiàn)為的中點,則異面直線AC與所成的角的大小為             

 

 

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