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16.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,A點在橢圓上,離心率22,AF2與x軸垂直,且|AF2|=2
(1)求橢圓的方程;
(2)若點A在第一象限,過點A作直線l,與橢圓交于另一點B,求△AOB面積的最大值.

分析 (1)由題意求出橢圓方程,
(2)然后求出和OA平行且和橢圓相切的直線方程,把切點到直線OA的距離轉(zhuǎn)化為原點O到切線的距離,則三角形AOB面積的最大值可求.

解答 解(1):由題意ca=222a=2,a2=b2+c2
解得a=22,b=c=2,
則橢圓的方程為:x28+y24=1
(2)要使△AOB面積最大,則B到OA所在直線距離最遠.
設(shè)與OA平行的直線方程為y=22x+b
{y=22x+bx28+y24=1消去y并化簡得.x2+2bx+b2-4=0.
由△=0得b=±22,
不妨取b>0,
∴與直線OA平行,且與橢圓相切且兩直線方程為:y=22x+22,
則B到直線OA的距離等于O到直線:y=22x+22,
的距離d,d=433,又|OA|=6,
△AOB面積的最大值s=12×6×433=22

點評 本題考查了橢圓方程的求法,考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

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