Question

1．已知f（x）=a•2^x+b•3^x，其中a，b為實(shí)數(shù)，ab≠0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若ab＜0，求使f（x+2）＞f（x）成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義，即可證得，注意作差、變形，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）首先化簡(jiǎn)得到3a•2^x+8b•3^x＞0，再討論a＞0，b＜0和a＜0，b＞0，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
理由如下：任取m，n∈R，m＜n，
則f（m）-f（n）=a（2^m-2ⁿ）+b（3^m-3ⁿ），
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，a＞0，即有a（2^m-2ⁿ）＜0，b＞0，3^m＜3ⁿ，即有b（3^m-3ⁿ）＜0，
則f（m）-f（n）＜0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
同理，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)性不確定；
（2）f（x+2）＞f（x）
即有f（x+2）-f（x）=（a•2^x+2+b•3^x+2）-（a•2^x+b•3^x）
=3a•2^x+8b•3^x＞0，
當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，（$\frac{3}{2}$）^x＞-$\frac{3a}{8b}$，則x＞log_1.5（-$\frac{3a}{8b}$）；
當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，（$\frac{3}{2}$）^x＜-$\frac{3a}{8b}$，則x＜log_1.5（-$\frac{3a}{8b}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：解不等式，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．