Question

某公司有10萬(wàn)元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為

1

2

，

1

4

，

1

4

；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β（α+β=1）．
（Ⅰ）如果把10萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，用ξ表示投資收益（收益=回收資金-投資資金），求ξ的期望Eξ；
（Ⅱ）若把10萬(wàn)元投資投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）如果把10萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為

1

2

，

1

4

，

1

4

；則可得到ξ的可能取值為1，0，-1．然后分別求出概率，由期望公式即可得到答案．
對(duì)于（Ⅱ）若把10萬(wàn)元投資投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，故可以先求出投資乙項(xiàng)目ξ的期望值，然后使其大于等于甲項(xiàng)目的期望，解出α的取值范圍即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，ξ的可能取值為1，0，-1
當(dāng)ξ=1時(shí)，P（ξ=1）=

1

2

，
當(dāng)ξ=0時(shí)，P（ξ=0）=

1

4

，
當(dāng)ξ=-1時(shí)，P（ξ=1）=

1

4

故Eξ=

1

2

-

1

4

=

1

4

．
故答案為

1

4

．
（Ⅱ）設(shè)η表示10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的收益，則η的分布為
當(dāng)η=2時(shí)，P（η=2）=α
當(dāng)η=-2時(shí)，P（η=-2）=β
則Eη=2α-2β=4α-2．
依題意要求4α-2≥

1

4

，又α＜1．
即：

9

16

≤α＜1，
故答案為

9

16

≤α＜1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的問(wèn)題，以及用期望值估計(jì)實(shí)際問(wèn)題，對(duì)學(xué)生靈活應(yīng)用能力要求較高，屬于中檔題目．