如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB=
2
2
AB.
(Ⅰ)證明:BC1∥平面A1CD
(Ⅱ)求二面角D-A1C-E的正弦值.
考點:二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)連接AC1交A1C于點F,由三角形中位線定理得BC1∥DF,由此能證明BC1∥平面A1CD.
(Ⅱ)以C為坐標原點,
CA
的方向為x軸正方向,
CB
的方向為y軸正方向,
CC1
的方向為z軸正方向,建立空間直角坐標系C-xyz.分別求出平面A1CD的法向量和平面A1CE的法向量,利用向量法能求出二面角D-A1C-E的正弦值.
解答: (Ⅰ)證明:連接AC1交A1C于點F,
則F為AC1的中點.又D是AB的中點,
連接DF,則BC1∥DF.
因為DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(Ⅱ)解:由AC=CB=
2
2
AB,得AC⊥BC.
以C為坐標原點,
CA
的方向為x軸正方向,
CB
的方向為y軸正方向,
CC1
的方向為z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
設(shè)CA=2,則D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),
CD
=(1,1,0),
CE
=(0,2,1),
CA1
=(2,0,2).
設(shè)
n
=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,
n
CD
=x1+y1=0
n
CA1
=2x1+2z1=0
,取x1=1,得
n
=(1,-1,-1).
同理,設(shè)
m
=(x2,y2,z2)是平面A1CE的法向量,
m
CE
=2y2+z2=0
m
CA1
=2x2+2z2=0
,取x2=2,得
m
=(2,1,-2).
從而cos<
n
,
m
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
3
3
,故sin<
n
,
m
>=
6
3

即二面角D-A1C-E的正弦值為
6
3
點評:本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系,考查線面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,記f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*且n≥2),試計算f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),并猜想f2010(x)的表達式.

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如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD=4,已知AD=5,BC=4,CD=
3
,點E,F(xiàn)分別在AB,AD上,且EF⊥AB,沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置,使A′E⊥EB,連接A′B,A′C,A′D
(1)求證:A′E⊥平面BCDFE;
(2)試確定點E的位置,使平面A′EF與平面A′BC所成的二面角的余弦值為
3
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若向量
a
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|=1,則
a
b
的值為
 
a
b
的夾角是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2
3
,則2a+b+c的最小值為( 。
A、
3
-1
B、
3
+1
C、2
3
-2
D、2
3
+2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD為等邊三角形,底面ABCD為棱形且∠DAB=
π
3

(Ⅰ)求證:PB⊥AD;
(Ⅱ)求平面PAB與平面PCD所成的角(銳角)的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)
a
=(x,4),
b
=(-1,2),若
a
b
的夾角為銳角,則x的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
,
b
均為單位向量,它們的夾角為600,實數(shù)x,y滿足|x
a
+y
b
|=
3
,那么x+2y的最大值為( 。
A、3
B、
3
C、2
3
D、
5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)向量
e1
,
e2
是夾角為
3
的單位向量,若
a
=3
e1
,
b
=
e1
-
e2
,則向量
b
a
方向的投影為(  )
A、
3
2
B、
1
2
C、-
1
2
D、1

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