Question

已知a，b，c分別是△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若a=4，△ABC的面積為4

3

，求b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由

m

•

n

=1，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式以及兩角差的正弦公式求得 sin（A-

π

6

）=

1

2

．再由0＜A＜π可得 A的值．
（2）由a=4，△ABC的面積為4

3

，求得 bc=16．再由余弦定理求得b²+c²=32，由此求得b，c的值．

解答：解：（1）由題意可得

m

•

n

=-cosA+

3

sinA=2sin（A-

π

6

）=1，故有 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由0＜A＜π可得 A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

．
（2）∵a=4，△ABC的面積為4

3

，∴

1

2

bc•sinA=4

3

，∴bc=16．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-16=16，
故有 b²+c²=32．與bc=16聯(lián)立，解得 b=c=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩角差的正弦公式、兩個(gè)向量夾角公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．