Question

15．函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}）$的最小正周期是π，且當x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值5．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且y=g（x）是偶函數(shù)，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出A，求出函數(shù)是周期，當x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值5，求解解析式，然后通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
（2）利用三角變換，結合函數(shù)的奇偶性，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題得，A=5，∵$\frac{2π}{ω}=π∴ω=2$，
∴5sin（2×$\frac{π}{6}$+α）=5，∴α=$\frac{π}{6}$+2kπ，$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$，
∴α=$\frac{π}{6}$．
$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）$…（4分）
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$
∴$單調(diào)減區(qū)間為[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]，k∈Z$…（8分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
g（x）=5sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）是偶函數(shù)，
∴$-2m+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，即$m=-\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，
∵m＞0，
∴m的最小值為$\frac{π}{3}$…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及平移變換，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．