Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
8.公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1,a2,a5成等比數(shù)列,且該數(shù)列的前10項和為100,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2bn1nN
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)令cn=1+an4bn,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求Tn的取值范圍.

分析 (Ⅰ)通過等差數(shù)列{an}的公差d≠0,利用a1+d2=a1(a1+4d)可知d=2a1,通過a1+(a1+99d)=2計算可知an=2n1100;通過在Sn=2bn1nN中令n=1可知首項b1=1,當(dāng)n≥2時利用bn=Sn-Sn-1化簡可知bn=2bn-1,進而可知bn=2n-1
(Ⅱ)通過(I)可知cn=1100n2n+9920012n,利用錯位相減法計算可知數(shù)列{n2n}的前n項和,利用等比數(shù)列的求和公式計算可知數(shù)列{12n}的前n項和,進而可知Tn=103200-12002n+1032n,通過函數(shù)f(x)=2x+1032x(x>0)的單調(diào)性計算即得結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)依題意,等差數(shù)列{an}的公差d≠0,
∵a1,a2,a5成等比數(shù)列,
a22=a1•a5,即a1+d2=a1(a1+4d),
整理得:d2=2da1,即d=2a1
又∵等差數(shù)列{an}的前10項和為100,
100a1+a1002=100,即a1+(a1+99d)=2,
整理得:a1=1100,d=150,
∴an=1100+150(n-1)=2n1100
Sn=2bn1nN,
∴b1=2b1-1,即b1=1,
當(dāng)n≥2時,bn=Sn-Sn-1=(2bn-1)-(2bn-1-1)=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1
∴數(shù)列{bn}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列,
∴bn=2n-1;
(Ⅱ)由(I)可知cn=1+an4bn=1+2n110042n1=12002n+992n=1100n2n+9920012n,
記數(shù)列{n2n}的前n項和為Pn,數(shù)列{12n}的前n項和為Qn,則
Qn=12112n112=1-12n,
∵Pn=1•12+2•122+…+n•12n,12Pn=1•122+2•123+…+(n-1)•12n+n•12n+1,
12Pn=12+122+123+…+12n-n•12n+1,
∴Pn=1+12+122+123+…+12n1-n•12n
=112n112-n•12n
=2-12n1-n•12n
=2-(n+2)•12n
∴Tn=1100•Pn+99200•Qn
=1100•[2-(n+2)•12n]+99200•(1-12n
=103200-12002n+1032n,
記f(x)=2x+1032x,則f′(x)=2x+12x+103ln22x4x<0,
故數(shù)列{2n+1032n}隨著n的增大而減小,
又∵T1=101400,nlimTn=103200,
101400≤Tn103200

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,考查錯位相減法,考查數(shù)列的單調(diào)性,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點.
(1)求證:AB1∥平面BDC1;
(2)求二面角B1-C1D-B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.某一等差數(shù)列的a1<0,a100≥74,a200<200,且在區(qū)間(12,5)中的項比[20,492]中的項少2,則數(shù)列{an}的通項公式為an=34n-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=12an+n2n+1a2n(n∈N*).
(1)求最小的正實數(shù)M,使得對任意的n∈N*,恒有0<an≤M.
(2)求證:對任意的n∈N*,恒有1852n+8≤an34n1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.在數(shù)列{an}中,已知Sn=2n1,則a12+a22+…+an2等于(  )
A.4n13B.2n123C.4n-1D.(2n-1)2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠:“遠看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈”. 這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠,本題說它一共有7層,每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍,共有381盞燈,問塔頂有幾盞燈?你算出頂層有( �。┍K燈.
A.2B.3C.5D.6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知集合M={y|y=2sinx,x∈R},N={x|y=lgx},則M∩N為(  )
A.[-2,2]B.(0,+∞)C.(0,2]D.[0,2]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-7,S8=0.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足b1=116,bnbn+1=2an,求數(shù)列{bn}的通項公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖所示,已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在的平面,BD與AC的交點為O,M,P分別為AB,EF的中點,AB=2,AF=1.
(1)求證:平面PCD⊥平面PCM;
(2)求三棱錐O-PCM的高.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案