Question

已知橢圓C中心在原點且長軸長等于2

2

，與雙曲線x²-y²=

1

2

有共同焦點．
（1）求橢圓C的方程
（2）問t取何值時，直線l：2x-y+t=0（t＞0）與橢圓C有且只有一個交點？
（3）在（2）的條件下，證明：直線l上橫坐標(biāo)小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于橢圓的離心率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0．由已知得

a= 2 c=1

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由

2x-y+t=0 x2 2 +y2=1

，得9x²+8tx+2t²-2=0，當(dāng)△=64t²-36×2（t²-1）=0時，得t=3．此時直線l與曲線C有且只有一個交點；當(dāng)△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直線2x-y+t=0恰好過點（-

2

，0）時，t=2

2

，此時直線l與曲線C有且只有一個交點．
（3）直線l方程為2x-y+3=0．設(shè)點P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，則

d1

d2

=

5a2+10a+10

2-a

=

5• a2+2a+2 (a-2)2

，由此能證明

d1

d2

的最小值等于橢圓的離心率．

解答： （1）解：∵橢圓C中心在原點且長軸長等于2

2

，
與雙曲線x²-y²=

1

2

有共同焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0．
且

a= 2 c=1

，∴b²=2-1=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）解：由

2x-y+t=0 x2 2 +y2=1

，得9x²+8tx+2t²-2=0，
當(dāng)△=64t²-36×2（t²-1）=0時，
t=±3，∵t＞0，∴t=3．
此時直線l與曲線C有且只有一個交點；
當(dāng)△=64t²-36×2（t²-1）＞0，且直線2x-y+t=0恰好過點（-

2

，0）時，
t=2

2

，此時直線l與曲線C有且只有一個交點．
綜上，當(dāng)t=3或t=2

2

時，直線l與曲線C有且只有一個交點．
（3）證明：直線l方程為2x-y+3=0．
設(shè)點P（a，2a+3），a＜2，d₁表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，
則d1=

(a-1)2+(2a+3)2

=

5a2+10a+10

，d₂=2-a，
∴

d1

d2

=

5a2+10a+10

2-a

=

5• a2+2a+2 (a-2)2

，
令f（a）=

a2+2a+2

(a-2)2

，
則f′(a)=

(2a+2)(a-2)2-2(a2+2a+2)(a-2)

(a-2)4

=

-(6a+8)

(a-2)3

，
令f′（a）=0，得a=-

4

3

，
∵當(dāng)a＜-

4

3

時，f′（a）＜0；
當(dāng)-

4

3

＜a＜2時，f′（a）＞0，
∴f（a）在a=-

4

3

時，取得最小值，即

d1

d2

取得最小值，
∴(

d1

d2

)min=

5•f(- 4 3 )

=

2

2

，
又橢圓C有離心率為

2

2

，
∴

d1

d2

的最小值等于橢圓的離心率．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓C有且只有一個交點時實數(shù)值的求法，考查直線上橫坐標(biāo)小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于橢圓的離心率的證明，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．