Question

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x≤0時，f（x）=

1+x

1-x

．
（1）求當x＞0時f（x）的解析式；   
（2）設(shè)a≠0且a≠±1，證明：f（a）=-f（

1

a

）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，x≤0時，f（x）=

1+x

1-x

，設(shè)x＞0，則-x＜0，轉(zhuǎn)化即可得出解析式，
（2）①a＞0時，②a＜0時，利用函數(shù)解析式代入討論即可證明．

解答： 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，x≤0時，f（x）=

1+x

1-x

，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）=

1-x

1+x

，
即當x＞0時f（x）=

1-x

1+x

．
（2）f（x）=

1+x 1-x ，x≤0 1-x 1+x ，x＞0

，
①a＞0時，f（a）=

1-a

1+a

，-f（

1

a

）=-

1- 1 a

1+ 1 a

=-

a-1

a+1

=f（a），
②a＜0時，f（a）=

1+a

1-a

，-f（

1

a

）=-

1+ 1 a

1- 1 a

=-

a+1

a-1

=f（a），
綜上：a≠0且a≠±1，f（a）=-f（

1

a

）．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解，運用函數(shù)的性質(zhì)，解析式證明等式問題，分類討論，屬于中檔題．