Question

16、給出下列命題：
①關(guān)于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R的充要條件是2＜a＜6；
②我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{1，3，5，7，9}的“孫集”有26個．
③已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）無實(shí)數(shù)根，則方程f[f（x）]=x也一定沒有實(shí)數(shù)根；
④若{a_n}成等比數(shù)列，S_n是前n項(xiàng)和，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析命題：①首先對a-2進(jìn)行討論，a-2=0時，恒成立；a-2≠0時，在解答的過程當(dāng)中，要先將所給的條件由二次不等式問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，從而獲得相應(yīng)參數(shù)a的范圍②正確理解“孫集”的含義，很容易計(jì)算出“孫集”個數(shù)；③方程f（x）無實(shí)根，即ax²+bx+c=0無實(shí)根，則可知△＜0，推出結(jié)論；④運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行推論；綜合可得答案．

解答：解：①當(dāng)a-2=0即a=2時，不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R
當(dāng)a-2≠0是，設(shè)一元二次函數(shù)y=（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的圖象開口向上，且x軸無交點(diǎn)．所以對于一元二次方程（a-2）x²+（a-2）x+1＞0必有△=（a-2）²-4（a-2）＜0解得：2＜a＜6
∴關(guān)于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R的充要條件是2≤a＜6．則判斷命題①正確．
②集合{1，3，5，7，9}的“孫集”有：φ，單元數(shù)集5個．2元素集C₅²=10個，3元素集C₅³=10個，共26個．則判斷命題②正確．
③f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）無實(shí)數(shù)根，即ax²+bx+c=0（a≠0）無實(shí)根，則可知△＜0，則判斷命題③正確．
④若{a_n}成等比數(shù)列，S_n是前n項(xiàng)和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數(shù)列，所以S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列，則判斷命題④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查了充要條件的問題、真子集、二次函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)．解答過程當(dāng)中要注意與一元二次不等式、一元二次函數(shù)以及一元二次方程的知識相聯(lián)系．