Question

等差數(shù)列{α_n}的前n項和S_n=

π

36

n²，數(shù)列{β_n}滿足β_n=

(7-2n)π

36

．同學(xué)甲在研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)以下六個等式均成立：
①sin²α₁+cos²β₁-sinα₁cosβ₁=m； ②sin²α₂+cos²β₂-sinα₂cosβ₂=m；
③sin²α₃+cos²β₃-sinα₃cosβ₃=m；④sin²α₄+cos²β₄-sinα₄cosβ₄=m；
⑤sin²α₅+cos²β₅-sinα₅cosβ₅=m；⑥sin²α₆+cos²β₆-sinα₆cosβ₆=m．
（Ⅰ）求數(shù)列{α_n}的通項公式；
（Ⅱ）試從上述六個等式中選擇一個，求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的計算結(jié)果，將同學(xué)甲的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值,歸納推理

專題：三角函數(shù)的求值,推理和證明

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列{α_n}的前n項和S_n=

π

36

n²，分n=1與n≥2討論，即可求得數(shù)列{α_n}的通項公式；
（Ⅱ）選擇②，計算即可；
（Ⅲ）利用兩角差的余弦將所求關(guān)系式中的cos²（

π

6

-θ）及cos（

π

6

-θ）展開，利用平方關(guān)系計算即可證得結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，α₁=

π

36

…（1分）
當(dāng)n≥2時，α_n=S_n-S_n-1=

π

36

n²-

π

36

（n-1）²=

π

18

n-

π

36

…（3分）
∵當(dāng)n=1時，a₁適合此式∴數(shù)列{α_n}的通項公式為a_n=

π

18

n-

π

36

…（5分）
（Ⅱ）解：選擇②，計算如下：β₂=

π

12

…（6分）
m=sin²α₂+cos²β₂-sinα₂cosβ₂
=sin²

π

12

+cos²

π

12

-sin

π

12

cos

π

12

=1-

1

2

sin

π

6

=

3

4

…（8分）
（Ⅲ）證明：sin²θ+cos²（

π

6

-θ）-sinθcos（

π

6

-θ）…（9分）
=sin²θ+（cos

π

6

cosθ+sin

π

6

sinθ）²-sinθ（cos

π

6

cosθ+sin

π

6

sinθ）…（10分）
=sin²θ+

3

4

cos²θ+

1

4

sin²θ+

3

2

sinθcosθ-

3

2

sinθcosθ-

1

2

sin²θ…（11分）
=

3

4

cos²θ+

3

4

sin²θ=

3

4

…（12分）

點評：本題考查歸納推理，著重考查三角函數(shù)的化簡求值，考查運算與推理證明能力，屬于難題．