(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)設(shè)a1,b1(k=1,2…,n)均為正數(shù),證明:
(1)若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn,則a1b1a2b2anbn≤1;
(2)若b1+b2+…bn=1,則
1n
b1b1b2b2bnbn≤b12+b22+…+bn2
分析:(Ⅰ)求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,解方程,分析該零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,最終求得函數(shù)的最值;
(Ⅱ)(1)要證a1b1a2b2anbn≤1,只需證ln(a1b1a2b2… anbn)≤0,根據(jù)(I)和∵ak,bk(k=1,2…,n)均為正數(shù),從而有l(wèi)nak≤ak-1,即可證明結(jié)論;(2)要證
1
n
b1b1b2b2bnbn,根據(jù)(1),令ak=
1
nbk
(k=1,2…,n),再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可證得結(jié)論;要證b1b1b2b2bnbn≤b12+b22+…+bn2,記s=b12+b22+…+bn2.令ak=
bk
s
(k=1,2…,n),同理可證.
解答:解:(I)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
令f′(x)=
1
x
-1=0,解得x=1,
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù);
故函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0;

(II)(1)由(I)知,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),有f(x)≤f(1)=0,即lnx≤x-1,
∵ak,bk(k=1,2…,n)均為正數(shù),從而有l(wèi)nak≤ak-1,
得bklnak≤akbk-bk(k=1,2…,n),
求和得
ln
b1
a1
+
ln
b2
a2
+
ln
b3
a3
+…+
ln
bn
an
≤a1b1+a2b2+…+anbn-(b1+b2+…+bn
∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn
ln
b1
a1
+
ln
b2
a2
+
ln
b3
a3
+…+
ln
bn
an
≤0,即ln(a1b1a2b2… anbn)≤0,
a1b1a2b2anbn≤1;

(2)先證
1
n
b1b1b2b2bnbn
令ak=
1
nbk
(k=1,2…,n),則a1b1+a2b2+…+anbn=1=b1+b2+…bn,
于是由(1)得(
1
nb1
)
b1
(
1
nb2
)
b2
(
1
nbn
)
bn
≤1,即
1
 b1b1b2b2bnbn
≤nb1+b2+…bn=n,
1
n
b1b1b2b2bnbn,
②再證b1b1b2b2bnbn≤b12+b22+…+bn2
記s=b12+b22+…+bn2.令ak=
bk
s
(k=1,2…,n),
則a1b1+a2b2+…+anbn=
1
s
(b12+b22+…+bn2)=1=b1+b2+…bn
于是由(1)得(
1
sb1
)
b1
(
1
sb2
)
b2
(
1
sbn
)
bn
≤1,
b1b1b2b2bnbn≤sb1+b2+…bn=s,
b1b1b2b2bnbn≤b12+b22+…+bn2,
綜合①②,(2)得證.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題.本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案