Question

如圖所示，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝，斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2,3)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）＝1

（2）不存在，見(jiàn)解析

【解析】【解析】
(1)設(shè)橢圓E的方程為＝1(a＞b＞0)，

由題意e＝＝，＝1，

又∵c2＝a2－b2，

解得：c＝2，a＝4，b＝2，

∴橢圓E的方程為＝1．

(2)假設(shè)橢圓E上存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中點(diǎn)為R(x0，y0)．

∵PQ⊥l，

∴kPQ＝＝－，

又∵

兩式相減得：．

∴＝－＝－×(－)＝，

即＝，③

又∵R(x0，y0)在直線(xiàn)l上，

∴y0＝2x0－1，④

由③④解得：x0＝2，y0＝3，

所以點(diǎn)R與點(diǎn)A是同一點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾，

故橢圓E上不存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)．