小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖(1))，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖(2))，稱之為拋物線酒杯．

(1)請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底．小明想用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識研究一下，當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個問題嗎？

答案：
解析：

　　解：(1)如下圖所示，以杯底中心為原點，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)．

　　將x＝2，y＝8代入拋物線方程，得p＝，

　　∴拋物線方程為x2＝y．

　　(2)設(shè)圓心在y軸正半軸上，且過原點的圓的方程為x2＋(y－r)2＝r2，將之代入拋物線方程，消去x，得y2＋(－2r)y＝0，

　　∴y1＝0，y2＝2r．

　　若要使玻璃球在杯中能觸及杯底，則要y2＝2r≤0，

　　即當(dāng)0＜r≤時，玻璃球一定會觸及杯底．

　　解析：本題是有關(guān)拋物線在實際生活中的應(yīng)用問題，在解決過程中應(yīng)當(dāng)注意建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系以及注意如何恰當(dāng)?shù)馗鶕?jù)題意將生活語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，從而將問題解決．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計選修數(shù)學(xué)－1-1蘇教版 蘇教版 題型：044

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖1)，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖2)，稱之為拋物線酒杯．

(1)請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底．小明想用所學(xué)過數(shù)學(xué)知識研究一下，當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個問題嗎？

(3)在拋物線酒杯中，放入一根粗細均勻，長度為2 cm的細棒，假設(shè)細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當(dāng)細棒最后達到平衡狀態(tài)時，細棒在酒杯中位置如何？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯,另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm,稱之為拋物線酒杯.

(1)請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)數(shù)學(xué)知識研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個問題嗎?

(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細均勻、長度為2 cm的細棒,假設(shè)細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當(dāng)細棒最后達到平衡狀態(tài)時,細棒在酒杯中位置如何?

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