Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓E的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓E相交于的P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）點(diǎn)M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若，求證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

（1）離心率提供一個等式，是橢圓的通徑，通徑長為，這樣的面積又提供一個等式，兩者聯(lián)立方程組結(jié)合，可求得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)，由得，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并整理，得.應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入 可得的關(guān)系，注意，然后由圓錐曲線中的弦長公式計算弦長，求出到直線的距離，求得的面積，化簡可得為定值，同樣直線的不斜率存在時，也求得的面積和剛才一樣，即得結(jié)論．

（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則①

過橢圓左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得，

所以，所以②

把①代入②，解得

又，解得

所以E的方程為：

（2）設(shè)，因為，，

所以，即，

即

（i）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并整理，得.

則，

③

所以，整理得，代入③，

，

O到直線的距離，

所以

，即的面積為定值1

（ii）當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)的斜率為且點(diǎn)M在第一象限，此時的方程為，代入橢圓方程，解得，此時的面積為.

綜上可知，的面積為定值1